Question

（1）用分析法證明：

3

-

2

＞

6

-

5

（2）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求證：

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一個小于2．

Answer 1

考點：不等式的證明,反證法與放縮法

專題：證明題,分析法,反證法

分析：（Ⅰ）利用分析法，和兩邊平方法，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）利用了反證法，假設(shè)

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，則

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2，推得a+b≤2，這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立．

解答： 證明：（1）要證：

3

-

2

＞

6

-

5

，
即證：

3

+

5

＞

2

+

6

，
即證：(

3

+

5

)2＞(

2

+

6

)2，
即證：8+2

15

＞8+2

12

，
即證：

15

＞

12

，
即證：15＞12．
而15＞12顯然成立，
所以：

3

-

2

＞

6

-

5

---------------（6分）
（2）證明：假設(shè)

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，則

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2，
∵a＞0，b＞0，
∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+b+1+a≥2（a+b）
即a+b≤2，
這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立．…（12分）

點評：本題主要考查了推理論證的兩種方法分析法和反證法，屬于中檔題．