【題目】已知函數(shù)f(x)=ax4lnx+bx4﹣c在x=1處取得極值﹣3﹣c.
(1)試求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對(duì)任意x>0,不等式f(x)≥﹣2c2恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意知f(1)=﹣3﹣c,因此b﹣c=﹣3﹣c,從而b=﹣3
又對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=x3(4alnx+a+4b)
由題意f'(1)=0,因此a+4b=0,解得a=12
(2)解:由(1)知f'(x)=48x3lnx(x>0),令f'(x)=0,解得x=1
當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,此時(shí)f(x)為減函數(shù);
當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,此時(shí)f(x)為增函數(shù)
因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)
(3)解:由(II)知,f(x)在x=1處取得極小值f(1)=﹣3﹣c,此極小值也是最小值,
要使f(x)≥﹣2c2(x>0)恒成立,只需﹣3﹣c≥﹣2c2
即2c2﹣c﹣3≥0,從而(2c﹣3)(c+1)≥0,解得c≥ 或c≤﹣1
所以c的取值范圍為(﹣∞,﹣1]∪[ ,+∞)
【解析】(1)因?yàn)閤=1時(shí)函數(shù)取得極值得f(x)=﹣3﹣c求出b,然后令導(dǎo)函數(shù)=0求出a即可;(2)解出導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)x的值討論x的取值范圍時(shí)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)不等式f(x)≥﹣2c2恒成立即f(x)的極小值≥﹣2c2 , 求出c的解集即可.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.
(1)若a=2 ,A= ,且△ABC的面積S=2 ,求b,c的值;
(2)若sin(C﹣B)=sin2B﹣sinA,試判斷△ABC的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x﹣1)=﹣f(﹣x+1),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x3 , 若對(duì)任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2 f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的值;
(2)設(shè)為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù), ,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+b.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值;
(3)若存在a∈[﹣3,0],使得函數(shù)f(x)在[﹣4,5]上恒有三個(gè)零點(diǎn),求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|,g(x)= ,若方程f(x)=g(x)﹣a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值集合為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD中,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為﹣1, 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+2i, 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為4﹣4i.
(Ⅰ)求D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);
(Ⅱ)求平行四邊形ABCD的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1﹣nan(n∈N*)
(1)計(jì)算a1 , a2 , a3 , a4;
(2)猜想an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城市100戶(hù)居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200.220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖示. (Ⅰ)求直方圖中x的值;
(Ⅱ)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280)的三組用戶(hù)中,用分層抽樣的方法抽取10戶(hù)居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶(hù)中應(yīng)抽取多少戶(hù)?
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