Question

已知函數(shù)

(1)證明:對于一切的實(shí)數(shù)x都有f(x)x;

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍

(3)證明:

 

Answer 1

【答案】

（1）構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性證明，（2）

(3) 利用放縮法證明

【解析】

試題分析：（1）令

則            2分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，      3分

故在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增

所以有，從而有對一切實(shí)數(shù)成立      4分

（2）由=0得,         5分

令h(x)=                        6分

則,觀察得x=1時(shí)=0             7分

當(dāng)x>1時(shí)>0,當(dāng)0<x<1時(shí) <0,=h(1)=e+1           8分

又

函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為      9分

(3) 由(1)知,令 …11分

=       13分

所以            14分

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：此類問題是在知識的交匯點(diǎn)處命題，將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程的知識融合在一起進(jìn)行考查，重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識