【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)試求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】
(1)求導(dǎo)得,分類討論當(dāng)和時(shí),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;
(2)根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),利用零點(diǎn)存在性定理,得出在上有且只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性討論零點(diǎn)個(gè)數(shù),綜合即可得出結(jié)論.
解:(1),
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),由,
得,
所以在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
(2)時(shí),,函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,,
由根的存在定理可知,在上存在零點(diǎn),
又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增,
從而在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí),由(1)可知存在最大值,
且,
①若,即時(shí),函數(shù)無(wú)零點(diǎn),
②若,即時(shí),函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),
③若,即時(shí),
因?yàn)?/span>,
所以在上存在零點(diǎn),
由(1)可知在單調(diào)遞增,
所以在上有且只有一個(gè)零,
下面尋找,使得滿足,且,
先證明若,則,
令,,
所以函數(shù)在單調(diào)遞增,
所以,
所以,
所以當(dāng)時(shí),
,
令,解得,
取,
則,
又因?yàn)?/span>,
所以在存在零點(diǎn),
由(1)可知在有且只有一個(gè)零點(diǎn),
所以有且只有兩零點(diǎn),
綜上,當(dāng)或時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面為正方形,側(cè)面為菱形,,平面平面.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤h(x)恒成立,求a的取值范圍;
(2)當(dāng)x<0時(shí),研究函數(shù)F(x)=h(x)﹣g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(3)求證:(參考數(shù)據(jù):ln1.1≈0.0953).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為和,右頂點(diǎn)為,且,短軸長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)作垂直軸的直線,點(diǎn)為直線上縱坐標(biāo)不為零的任意一點(diǎn),過(guò)作的垂線交橢圓于點(diǎn)和,當(dāng)時(shí),求此時(shí)四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元,現(xiàn)推出會(huì)員優(yōu)惠活動(dòng):具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:
現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會(huì)員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù),得到數(shù)據(jù)如下:
假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:
(1)估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率
(2)某會(huì)員消費(fèi)4次,求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn);
(3)假設(shè)每個(gè)會(huì)員每星期最多消費(fèi)4次,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率,從會(huì)員中隨機(jī)抽取兩位,記從這兩位會(huì)員的消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn)之差的絕對(duì)值為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】.極坐標(biāo)系于直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,射線,,,與曲線分別交異于極點(diǎn)的四點(diǎn).
(1)若曲線關(guān)于曲線對(duì)稱,求的值,并把曲線和化成直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè),當(dāng)時(shí),求的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:
①f(x)是周期函數(shù);②f(x)的圖象關(guān)于直線x=2kπ(k∈Z)對(duì)稱,
③f(x)在(﹣π,0)上沒(méi)有零點(diǎn);④f(x)的值域?yàn)?/span>,
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形,圓臺(tái)的側(cè)面積為.若點(diǎn)分別為圓上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)在平面的同側(cè).
(1)求證:;
(2)若,則當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí),求多面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】京廣高速鐵路(又稱京廣高鐵)是中國(guó)運(yùn)營(yíng)中的高速客運(yùn)專線之一,被譽(yù)為世界上運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)的高速鐵路,在出行人群中越來(lái)越受歡迎.現(xiàn)交通部門利用大數(shù)據(jù)工具隨機(jī)抽取了沿線城市出行人群中的名旅客進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得知在這名旅客中歲(含)以下采用乘坐京廣高鐵出行的占.
歲(含)以下 | 歲上 | 合計(jì) | |
乘京廣高跌 | |||
不乘京廣高跌 | |||
合計(jì) |
(1)請(qǐng)完成的列聯(lián)表,并由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷有多大把握認(rèn)為“乘坐京廣高鐵出行與年齡有關(guān)”?
(2)為優(yōu)化服務(wù)質(zhì)量,鐵路部門從這名旅客按年齡采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人免費(fèi)到廣州參加座談會(huì),會(huì)后再進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng),獎(jiǎng)品共三份.由于年齡差異,規(guī)定歲(含)以下的旅客若中獎(jiǎng)每人得元,歲以上的旅客若中獎(jiǎng)每人得元,這兩個(gè)年齡段的得獎(jiǎng)人數(shù)分別記為與.設(shè)旅客抽獎(jiǎng)所得的總金額為元,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式: ,參考數(shù)據(jù)如表
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