Question

若f（x）是定義域在（0，+∞）上的減函數(shù)，且對(duì)一切A，B∈（0，+∞），都有f（

a

b

）=f（a）-f（b）
（1）求f（1）的值
（2）若f（4）=1，解不等式f（x+6）-f（

1

x

）＞2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，令a=b=1，即可求出f（1）=0，
（2）先求出f（16）=2，再化簡不等式，根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上的減函數(shù)，構(gòu)造不等式組，解得即可

解答： 解：（1）令a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）令a=4，b=

1

4

，
得f（16）=f（4）-f（

1

4

）=f（4）-f（1）+f（4）=2f（4）=2
∵f（x+6）-f（

1

x

）＞2．
∴f[x（x+6）]=f（x²+6x）＞f（16）
∵f（x）是定義域在（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴

x＞0 x+6＞0 x2+6x＜16

解得0＜x＜2
所以不等式的解集為（0，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法，突出考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用與解不等式組的能力，屬于中檔題．