Question

設(shè)直線l：y=5x+2是曲線C：f（x）=

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x³-x²+2x+m的一條切線，g（x）=ax²+2x-25
（1）求切點(diǎn)坐標(biāo)及m的值；
（2）當(dāng)m∈Z時(shí)，存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f′（x₀）=5即可解得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)及m的值；
（Ⅱ）由m∈Z，可得m=13，設(shè)h（x）=f（x）-g（x），則存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立?h（x）_min≤0，利用導(dǎo)數(shù)和分類討論即可得出．

解答： （1）解：設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），∵f′（x）=x²-2x+2∴x02-2x0+2=5，解得x₀=-1或x₀=3，
代入直線l方程，得切點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，-3）或（3，17），
∵切點(diǎn)P在曲線C上，∴m=

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或m=11，
綜上可知，切點(diǎn)P（-1，-3），m=

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或者切點(diǎn)P（3，17），m=11．           
（2）∵m∈Z，∴m=11，
設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=

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x3-(1+a)x2+36，若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，則只要h（x）_min≤0，
h′（x）=x²-2（1+a）x=x[x-2（1+a）]，
①當(dāng)1+a=0即a=-1時(shí)，h′（x）=x²≥0，h（x）是增函數(shù)，h（x）_min=36＞0不合題意．               
②若1+a＞0即a＞-1，
令h′（x）＞0，得x＞2（1+a）或x＜0，∴h（x）在（2（1+a），+∞）上是增函數(shù)，
令h′（x）≤0，解得0≤x≤2（1+a），∴h（x）在[0，2（1+a）]上是減函數(shù)，
∴h（x）_min=h（2（1+a）），
令h（2（1+a））≤0，解得a≥2，
③若1+a＜0即a＜-1，
令h′（x）＞0，解得x＜2（1+a）或x＞0，又∵x∈[0，+∞），
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴h（x）_min=h（0），令h（0）≤0，不等式無解，
∴a不存在，
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，學(xué)會(huì)分類討論．