設(shè)函數(shù)f（x），g（x）滿足關(guān)系g（x）=f（x）•f（x+α）其中α是常數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=cosx+sinx，α=
π
2
，求g（x）的解析式；
（2）設(shè)計一個函數(shù)f（x）及一個α（0＜α＜π）的值使得g（x）=
1
2
sin2x；
（3）設(shè)常數(shù)α=0，f（x）=
kx 
（0＜k＜1），并已知0＜x1＜x2＜
π
2
時，總有
sinx1
x1
＞
sinx2
x2
成立，當(dāng)x∈( 0，
π
2
)時，試比較sin[g（x）]與g（sinx）的大�。�
分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x+α）的解析式，相乘后得到函數(shù)g（x）的解析式；
（2）由逆向思維可知f（x）•f（x+α）=sinxcosx，由此可得函數(shù)f（x）及一個α；
（3）由給出的f（x）求出g（x），從而求出sin[g（x）]與g（sinx），借助于
sinx1
x1
＞
sinx2
x2
可得答案．
解答：解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，α=
π
2

∴f（x+α）=cosx-sinx；
∴g（x）=f（x）•f（x+α）（cosx+sinx）（cosx-sinx）
=cos2x-sin2x=cos2x；
（2）∵g（x）=
1
2
sin2x=sinxcosx，
若f（x）=sinx，則f（x+α）=sin（x+α）=cosx⇒α=
π
2

∴f（x）=sinx，常數(shù)α=
π
2
；
（3）由題意g（x）=kx，sin[g（x）]=sinkx，g（sinx）=ksinx
又0＜k＜1，所以0＜kx＜x＜
π
2
，
則
sinkx
kx
＞
sinx
x
，所以sinkx＞ksinx，
即sin[g（x）]＞g（sinx）．
點評：本題考查了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了倍角公式，訓(xùn)練了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，是中檔題．
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4、設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是（　�。�

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設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域都是I，則g（x）＞f（x）恒成立的充分必要條件是（　�。�

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已知二次函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設(shè)函數(shù)f（x）=m[g（x+1）-1]-lnx，其中m為常數(shù)且m≠0．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當(dāng)-2＜m＜0時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并且說明理由．

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設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）的定義域分別為F、G，且F⊆G，若對任意的x∈F，都有g(shù)（x）=f（x），則稱g（x）為f（x）在G上的一個“延拓函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=(
12
)x(x≤0)，若g（x）為f（x）在實數(shù)集R上的一個延拓函數(shù)，且g（x）是偶函數(shù)，則函數(shù)g（x）=
2|x|
2|x|
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上可導(dǎo)，且f'（x）＞g'（x），則當(dāng)a＜x＜b時有（　�。�

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