已知二次函數(shù)g(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點,且滿足g(x+1)=g(x)+2x+1,設(shè)函數(shù)f(x)=m[g(x+1)-1]-lnx,其中m為常數(shù)且m≠0.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)當(dāng)-2<m<0時,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并且說明理由.
分析:(1)用待定系數(shù)法設(shè)g(x)=ax2+bx+c,再據(jù)題設(shè)條件建立方程求參數(shù),c=0易求,求a,b要求正確理解g(x+1)=g(x)+2x+1恒成立這一特性,即理解函數(shù)相等的意義,通過函數(shù)相等轉(zhuǎn)化出關(guān)于a,b的方程求值.
(2)解出函數(shù)f(x)的表達式及其定義域,再求導(dǎo),依據(jù)參數(shù)m的取值范圍來判斷導(dǎo)數(shù)的符號,確定函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性,解答本題時要注意答題格式.
解答:解:(1)設(shè)g(x)=ax2+bx+c,g(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點,所以c=0.
∵g(x+1)=g(x)+2x+1∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+2x+1
即:ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+2)x+1
∴a=1,b=0,g(x)=x2;(6分)
(2)當(dāng)-2<m<0時,判斷函數(shù)f(x)在其定義域上單調(diào)遞減,證明如下:
∵函數(shù)f(x)=mx2+2mx-lnx的定義域為(0,+∞),
f(x)=2mx+2m-
1
x
=
2mx2+2mx-1
x

令k(x)=2mx2+2mx-1,k(x)=2m(x+
1
2
)2-
m
2
-1
,
∵-2<m<0,∴k(x)=2mx2+2mx-1<0在(0,+∞)上恒成立,
即f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立.
∴當(dāng)-2<m<0時,函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減.(13分)
點評:考查函數(shù)相等,求定義域的方法,用導(dǎo)數(shù)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,綜合性較強.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)g(x)對任意實數(shù)x都滿足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.
(1)求g(x)的表達式;
(2)設(shè)1<m≤e,H(x)=g(x+
1
2
)+mlnx-(m+1)x+
9
8
,求證:H(x)在[1,m]上為減函數(shù);
(3)在(2)的條件下,證明:對任意x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)g(x)對任意實數(shù)x都滿足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g(x+
1
2
)+mlnx+
9
8
(m∈R,x>0)

(1)求g(x)的表達式;
(2)若?x>0使f(x)≤0成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,證明:對?x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)g(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點,且滿足g(x+1)=g(x)+2x+1,設(shè)函數(shù)f(x)=mg(x)-ln(x+1),其中m為非零常數(shù)
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)當(dāng)-2<m<0時,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并且說明理由;
(3)證明:對任意的正整數(shù)n,不等式ln(
1
n
+1)>
1
n2
-
1
n3
恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)g(x)對任意實數(shù)x不等式x-1≤g(x)≤x2-x恒成立,且g(-1)=0,令f(x)=g(x)+mlnx+
12
(m∈R)

(I)求g(x)的表達式;
(Ⅱ)若?x>0使f(x)≤0成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,證明:對?x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案