Question

如圖1­1所示，三棱柱ABC ­ A₁B₁C₁中，點(diǎn)A₁在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC₁＝2.

(1)證明：AC₁⊥A₁B;

(2)設(shè)直線AA₁與平面BCC₁B₁的距離為，求二面角A₁ ­ AB ­ C的大�。�

Answer 1

解：方法一：(1)證明：因?yàn)?i>A₁D⊥平面ABC，A₁D⊂平面AA₁C₁C，故平面AA₁C₁C⊥平面ABC.

又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C.

連接A₁C，因?yàn)閭?cè)面AA₁C₁C為菱形，故AC₁⊥A₁C.

由三垂線定理得AC₁⊥A₁B.

(2)BC⊥平面AA₁C₁C，BC⊂平面BCC₁B₁，故平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁.

作A₁E⊥CC₁，E為垂足，則A₁E⊥平面BCC₁B₁.

又直線AA₁∥平面BCC₁B₁，因而A₁E為直線AA₁與平面BCC₁B₁的距離，

即A₁E＝.

因?yàn)?i>A₁C為∠ACC₁的平分線，

所以A₁D＝A₁E＝.

作DF⊥AB，F為垂足，連接A₁F.

由三垂線定理得A₁F⊥AB，故∠A₁FD為二面角A₁ ­ AB ­ C的平面角．

由AD＝＝1，得D為AC中點(diǎn)，

DF＝，tan∠A₁FD＝＝，所以cos∠A₁FD＝.

所以二面角A₁ ­ AB ­ C的大小為arccos.

方法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C ­ xyz.由題設(shè)知A₁D與z軸平行，z軸在平面AA₁C₁C內(nèi)．

(1)證明：設(shè)A₁(a，0，c)．由題設(shè)有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，則＝(－2，1，0)，＝(－2，0，0)，＝(a－2，0，c)，＝＋＝(a－4，0，c)，＝(a，－1，c)．由||＝2，得＝2，即a²－4a＋c²＝0.①

又·＝a²－4a＋c²＝0，所以AC₁⊥A₁B .

(2)設(shè)平面BCC₁B₁的法向量m＝(x，y，z)，則m⊥，m⊥，即m·＝0，m·＝0.因?yàn)?sub>＝(0，1，0)，＝＝(a－2，0，c)，所以y＝0且(a－2)x＋cz＝0.

令x＝c，則z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故點(diǎn)A到平面BCC₁B₁的距離為||·|cos〈m，〉|＝＝＝c.

又依題設(shè)，A到平面BCC₁B₁的距離為，

所以c＝，

代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，

于是＝(－1，0，)．

設(shè)平面ABA₁的法向量n＝(p，q，r)，

則n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0，

－p＋r＝0，且－2p＋q＝0.

令p＝，則q＝2 ，r＝1，所以n＝(，2 ，1)．

又p＝(0，0，1)為平面ABC的法向量，故

cos〈n，p〉＝＝.

所以二面角A₁ ­ AB ­ C的大小為arccos.