Question

某學(xué)校高一年級(jí)開設(shè)了A，B，C，D，E五門選修課．為了培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，要求每個(gè)學(xué)生必須參加且只能選修一門課程．假設(shè)某班甲、乙、丙三名學(xué)生對(duì)這五門課程的選擇是等可能的．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五門選修課的所有選法種數(shù)；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生選修同一門課程的概率；
（Ⅲ）設(shè)隨機(jī)變量X為甲、乙、丙這三名學(xué)生參加A課程的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）每個(gè)學(xué)生選修一門課程，有5種選法，由分步乘法原理即可求解．
（Ⅱ）“甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生選修同一門課程”的對(duì)立事件為“三名學(xué)生選擇三門不同選修課程”，利用對(duì)立事件的概率關(guān)系求解．
（Ⅲ）X的所有可能取值為：0，1，2，3，利用古典概型分別求概率，列出分布列求期望即可．
解答：解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名學(xué)生每人選擇五門選修課的方法數(shù)是5種，
故共有5×5×5=125（種）．
（Ⅱ）三名學(xué)生選擇三門不同選修課程的概率為：．
∴三名學(xué)生中至少有兩人選修同一門課程的概率為：．
（Ⅲ）由題意：X=0，1，2，3
.；
；
；
．
ξ的分布列為

數(shù)學(xué)期望=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查計(jì)數(shù)原理、古典概型、及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，難度不大．