Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）如果且關(guān)于的方程有兩解， （），證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類討論可得：

①若，則當(dāng)時(shí)，數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， 函數(shù)單調(diào)遞增；

②若，函數(shù)單調(diào)遞增；

③若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

(2)原問題即證明，構(gòu)造新函數(shù) ，結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)和題意即可證得結(jié)論.

試題解析：

（1）由，可知 .

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，所以，

①若，則當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

②若，則當(dāng)在內(nèi)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增；

③若，則當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增.

（2）要證，只需證.

設(shè) ，

因?yàn)?/span>，

所以為單調(diào)遞增函數(shù).

所以只需證，

即證，

只需證 .（*）

又， ，

所以兩式相減，并整理，得 .

把 代入（*）式，

得只需證，

可化為.

令，得只需證.

令（），

則 ，

所以在其定義域上為增函數(shù)，

所以.

綜上得原不等式成立.