Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+x為奇函數(shù)，且f（1）-f（-1）=4．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若對于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c²-9c恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax³+bx²+x為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）對任意x∈R恒成立
即：-ax³+bx²-x=-ax³-bx²-x?2bx²=0任意x∈R恒成立
∴b=0，可得f（x）=ax³+x
∵f（1）-f（-1）=4
∴a+1-（-a-1）=4?a=1
綜上所述，得a=1，b=0
（2）由（1）得f（x）=x³+x，
求導(dǎo)數(shù)得f′（x）=3x²+1＞0對任意x∈R恒成立
∴f（x）是R上的增函數(shù)．當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）的最大值為f（2）=10
∵對于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c²-9c恒成立
∴10＜c²-9c?c²-9c-10＞0?c＜-1或c＞10
綜上所述，得實數(shù)c的取值范圍為c∈（-∞，-1）∪（10，+∞）．