Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)是的極小值點(diǎn)，且，證明：.

Answer 1

【答案】(1) .(2)見解析.

【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)定義域?yàn)?/span>，可構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)及分類討論，即可求得的取值范圍。

（2）由（1）令，通過(guò)分離參數(shù)得，同時(shí)求對(duì)數(shù)，根據(jù)函數(shù)，可得。構(gòu)造函數(shù)及，由導(dǎo)數(shù)即可判斷的單調(diào)情況，進(jìn)而求得的最小值，結(jié)合即可證明不等式成立。

（1）.

令，

則，

所以在上是增函數(shù).

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，不存在極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，

必存在使.

所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；

所以存在極小值點(diǎn).

綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1）知，即.

所以，

.

由，得.

令，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減.

又，所以由，得.

令，

，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，

所以，即，即，

所以，，

所以，

即.