Question

若ξ～N（0，1），且令Φ（x）=P（ξ≤x），判斷下列等式是否成立：
（1）Φ（-x）=1-Φ（x）；
（2）P（|ξ|≤x）=1-2Φ（x）；
（3）P（|ξ|＜x）=2Φ（x）-1；
（4）P（|ξ|＞x）=2[1-Φ（x）]．

Answer 1

考點(diǎn)：正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義

專(zhuān)題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)隨機(jī)變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），得到正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于ξ=0對(duì)稱(chēng)，再結(jié)合正態(tài)分布的密度曲線(xiàn)定義Φ（x）=P（ξ≤x，x＞0），由此可解決問(wèn)題．

解答： 解：∵隨機(jī)變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），
∴正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于ξ=0對(duì)稱(chēng)，
∵Φ（x）=P（ξ≤x，x＞0），根據(jù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得：
①Φ（-x）=1-Φ（x）正確；
②P{|ξ|≤x}=2Φ（x）-1≠1-2Φ（x），錯(cuò)誤；
③P{|ξ|＜x}=2Φ（x）-1錯(cuò)誤；
④P{|ξ|＞x}=2[1-Φ（x）]正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間（a，b）內(nèi)取值概率P（a＜ξ＜b）=∅（b）-∅（a），本題屬于基礎(chǔ)題．