Question

已知函數(shù)f（x）=ke^x，g（x）=

1

k

lnx，其中k＞0．若函數(shù)f（x），g（x）在它們的圖象與坐標(biāo)軸交點處的切線互相平行．
（1）求k的值；
（2）是否存在直線l，使得l同時是函數(shù)f（x），g（x）的切線？說明理由．
（3）若直線x=a（a＞0）與f（x）、g（x）的圖象分別交于A、B兩點，直線y=b（b＞0）與h（x）的圖象有兩個不同的交點C、D．記以A、B、C、D為頂點的凸四邊形面積為S，求證：S＞2．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)f（x），g（x）在它們的圖象與坐標(biāo)軸交點處的切線互相平行，建立方程，即可求k的值；
（2）假設(shè)存在直線l同時是函數(shù)f（x），g（x）的切線，設(shè)l與f（x），g（x）分別相切于點M（m，e^m），N（n，lnn）（n＞0），則e^m=

1

n

，且e^m（1-m）=lnn-1，要說明l是否存在，只需說明上述方程組是否有解．令h（m）=e^m（1-m）+m+1，因為h（1）=2＞0，h（2）=-e²+3＜0，所以方程e^m（1-m）+m+1=0有解，則方程組有解，即可得出結(jié)論；
（3）證明AB=|ex0-lnx₀|＞2，CD=|x₂-x₁|=|e^u-lnu|＞2，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：f（x），g（x）與坐標(biāo)軸的交點分別為（0，k），（1，0），
由f（x）=ke^x，g（x）=

1

k

lnx，得f′（x）=ke^x，g′（x）=

1

kx

，
由題意知f′（0）=g′（1），即k=

1

k

，又k＞0，所以k=1．            …2分
（2）解：假設(shè)存在直線l同時是函數(shù)f（x），g（x）的切線，
設(shè)l與f（x），g（x）分別相切于點M（m，e^m），N（n，lnn）（n＞0），
則l：y-e^m=e^m（x-m）或表示為y-lnn=

1

n

（x-n），
則e^m=

1

n

，且e^m（1-m）=lnn-1，要說明l是否存在，只需說明上述方程組是否有解．…4分
由e^m=

1

n

得n=e^-m，代入e^m（1-m）=lnn-1，得e^m（1-m）=-m-1，即e^m（1-m）+m+1=0，
令h（m）=e^m（1-m）+m+1，
因為h（1）=2＞0，h（2）=-e²+3＜0，所以方程e^m（1-m）+m+1=0有解，則方程組有解，
故存在直線l，使得l同時是函數(shù)f（x），g（x）的切線．                 …8分
（3）證明：設(shè)A（x₀，ex0），B（x₀，lnx₀），則AB=|ex0-lnx₀|，
設(shè)F（x）=ex0-lnx₀，∴G（x）=F′（x）=ex0-

1

x0

，
∴G′（x）=ex0+

1

x02

＞0，即G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又G（0.5）=

e

-2＜0，G（1）=e-1＞0，
故G（x）在（0，+∞）上有唯一零點，設(shè)為t∈（0.5，1），則e^t-

1

t

=0，因此t=-lnt，
當(dāng)x∈（0，t）時，F(xiàn)′（x）=G（x）＜G（t）=0，∴F（x）在（0，t）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（t，+∞）時，F(xiàn)′（x）=G（x）＞G（t）=0，∴F（x）在（t，+∞）上單調(diào)遞增，
因此F（x）≥F（t）=e^t-lnt=

1

t

+t，
由于t∈（0.5，1），∴F（x）=

1

t

+t＞2，則AB=|ex0-lnx₀|＞2．…14分
設(shè)C（x₁，ex1），D（x₂，lnx₂），則ex1=lnx₂，令ex1=lnx₂=u，則x₁=lnu，x₂=e^u，
∴CD=|x₂-x₁|=|e^u-lnu|＞2，
故S=

1

2

AB•CD＞

1

2

•2•2=2．                          …16分．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的構(gòu)造，難度大．