Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax²+x-b）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
（2）當(dāng)b=-1時(shí)，另g（x）=f（2^x）-f（

a

2

），若當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)g（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（x²+x-b），從而可得△=1+4b＜0，從而解得；
（2）化簡(jiǎn)g（x）=f（2^x）-f（

a

2

）=ln（a（2^x）²+2^x+1）-ln（

a3

4

+

a

2

+1），從而可得當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，y=a（2^x）²+2^x+1＞0恒成立及

a3

4

+

a

2

+1＞0成立，從而求解．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（x²+x-b），
故△=1+4b＜0，
解得，b＜-

1

4

；
（2）g（x）=f（2^x）-f（

a

2

）
=ln（a（2^x）²+2^x+1）-ln（

a3

4

+

a

2

+1），
∵當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)g（x）有意義，
∴當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，y=a（2^x）²+2^x+1＞0恒成立，
故a＞-（

1

2x

+

1

2

）²+

1

4

；
故a＞-

3

4

；

a3

4

+

a

2

+1＞0可化為a³+2a+4＞0；
易知h（a）=a³+2a+4在R上單調(diào)遞增，
且h（-

3

4

）=-

27

64

-

3

2

+4＞0；
故a＞-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．