Question

如圖所示，已知圓C：x²+y²=r²（r＞0）上點(diǎn)(1，

3

)處切線的斜率為-

3

3

，圓C與y軸的交點(diǎn)分別為A，B，與x軸正半軸的交點(diǎn)為D，P為圓C在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，直線BD與AP相交于點(diǎn)M，直線DP與y軸相交于點(diǎn)N．
（1）求圓C的方程；
（2）試問(wèn)：直線MN是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)條件結(jié)合點(diǎn)在圓上，求出圓的半徑即可求圓C的方程；
（2）根據(jù)條件求出直線MN的斜率，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵

a

1

×(-

3

3

)=-1，
∴a=

3

．
∵點(diǎn)(1，

3

)在圓C：x²+y²=r²上，
∴r2=12+(

3

)2=4．
故圓C的方程為x²+y²=4．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4，
直線BD的方程為x-y-2=0，直線AP的方程為y=

y0-2

x0

x+2
聯(lián)立方程組

x-y-2=0 y= y0-2 x0 x+2

，得M（

4x0

x0-y0+2

，

2x0+2y0-4

x0-y0+2

），
易得N（0，

2y0

2-x0

），
∴k_MN=2X

2x0+2y0-4 x0-y0+2 - 2y0 2-x0

4x0 x0-y0+2

=

(2-x0)(2x0+2y0-4)-2y0(x0-y0+2)

4x0(2-x0)

=

4x0+4y0-8-2x02-2x0y0+4x0-2x0y0+2y02-4y0

4x0(2-x0)

=

-4x02+8x0-4x0y0

4x0(2-x0)

=

x0+y0-2

x0-2

，
∴直線MN的方程為y=

x0+y0-2

x0-2

x+

2y0

2-x0

，
化簡(jiǎn)得（y-x）x₀+（2-x）y₀=2y-2x…（*）
令

y-x=0 2-x=0

，得

x=2 y=2

，且（*）式恒成立，故直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的方程的求解，以及直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．