Question

已知異面直線a，b，過不在a，b上的任意一點，下列三個結論：
①一定可作直線l與a，b都相交；
②一定可作直線l與a，b都垂直；
③一定可作直線l與a，b都平行；
其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離

分析：如圖所示，由于a，b是異面直線，可知存在唯一一對平面α∥β，且a?α，b?β．設不在a，b上的任意一點為P．①若點P∈α或P∈β，則不能夠作直線l與a，b都相交；
②過點P一定可作直線l⊥α，利用面面平行和線面垂直的性質可得l⊥a，l⊥b．
③利用反證法和平行公理即可得出．

解答： 解：如圖所示，∵a，b是異面直線，∴存在唯一一對平面α∥β，且a?α，b?β．
設不在a，b上的任意一點為P．
①若點P∈α或P∈β，則不能夠作直線l與a，b都相交，因此①不正確；
②過點P一定可作直線l⊥α，∵α∥β，a?α，b?β，則l⊥a，l⊥b．因此正確．
③假設過點P可作直線l∥a，l∥b，則a∥b，這與已知a，b是異面直線相矛盾．因此假設不成立，即不存在過點P的直線l與a，b都平行．因此③不正確．
綜上可知：只有②正確．
故答案為：②．

點評：本題考查了異面直線的意義及其性質、線面面面平行與垂直的性質，屬于難題．