【題目】如圖，在菱形中，沿對(duì)角線(xiàn)將△折起，使之間的距離為若分別為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)

（1）求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值；

（2）當(dāng)線(xiàn)段長(zhǎng)度最小時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，因?yàn)?/span>，所以，所以為直角三角形所以，所以平面．

以分別為軸

（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由空間向量計(jì)算求出，由二次函數(shù)性質(zhì)求最小值即可．

（2）由空間向量求出平面的法向量與向量，即可求之．

試題解析：取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，

，，

因?yàn)?/span>，所以，

所以為直角三角形所以，

所以平面． 2分

以分別為軸，建立如圖

所示空間直角坐標(biāo)系，則， 3分

（1）設(shè)，

則

， 5分

當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度最小值為． 6分

（2）由（1）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，得，化簡(jiǎn)得，

取，設(shè)與平面所成角為，則．

故直線(xiàn)PQ與平面ACD所成角的正弦值為． 10分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中一個(gè)寓言故事。通過(guò)講述一只烏鴉喝水的故事，告訴人們遇到困難要運(yùn)用智慧、認(rèn)真思考才能讓問(wèn)題迎刃而解的道理。如圖2所示，烏鴉想喝水，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)錐形瓶，上面部分是圓柱體，下面部分是圓臺(tái)，瓶口直徑為3厘米，瓶底直徑為9厘米，瓶口距瓶頸為厘米，瓶頸到水位線(xiàn)距離和水位線(xiàn)到瓶底距離均為厘米現(xiàn)將1顆石子投入瓶中，發(fā)現(xiàn)水位線(xiàn)上移厘米，若只有當(dāng)水位線(xiàn)到達(dá)瓶口時(shí)，烏鴉才能喝到水，則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是？（石子體積均視為一致）

圓臺(tái)體積公式：，其中，為圓臺(tái)高，為圓臺(tái)下底面半徑，為圓臺(tái)上底面半徑（ ）

A.2顆B.3顆C.4顆D.5顆

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】河圖是上古時(shí)代神話(huà)傳說(shuō)中伏羲通過(guò)黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀(guān)察，畫(huà)出的“八卦”，而龍馬身上的圖案就叫做“河圖”．把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火居南；三八為朋，為木居?xùn)|；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中．“河圖”將一到十分成五行屬性分別為金，木，水，火，土的五組，在五行的五種屬性中，五行相克的規(guī)律為：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的規(guī)律為：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．現(xiàn)從這十個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數(shù)字的概率為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且所在直線(xiàn)的斜率之積等于，記頂點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，且為的重心（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：的面積為定值，并求出該定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C滿(mǎn)足：圓心在軸上，且與圓相外切.設(shè)圓C與軸的交點(diǎn)為M，N，若圓心C在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軸正半軸上總存在定點(diǎn)，使得為定值，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為.令.

（1）若.

①當(dāng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②設(shè)，，試比較與的大小？并證明你的結(jié)論.

（2）問(wèn)集合中最多有多少個(gè)元素？并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】第18屆國(guó)際籃聯(lián)籃球世界杯（世界男子籃球錦標(biāo)賽更名為籃球世界杯后的第二屆世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中國(guó)的北京、廣州、南京、上海、武漢、深圳、佛山、東莞八座城市舉行.中國(guó)隊(duì)12名球員在第一場(chǎng)和第二場(chǎng)得分的莖葉圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.第一場(chǎng)得分的中位數(shù)為B.第二場(chǎng)得分的平均數(shù)為

C.第一場(chǎng)得分的極差大于第二場(chǎng)得分的極差D.第一場(chǎng)與第二場(chǎng)得分的眾數(shù)相等

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，固定邊，在平面內(nèi)移動(dòng)頂點(diǎn)，使得的內(nèi)切圓始終與切于線(xiàn)段的中點(diǎn)，且、在直線(xiàn)的同側(cè)，在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程(為參數(shù))，直線(xiàn)的參數(shù)方程(為參數(shù)).

（1）求曲線(xiàn)在直角坐標(biāo)系中的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)曲線(xiàn)截直線(xiàn)所得線(xiàn)段的中點(diǎn)極坐標(biāo)為時(shí)，求直線(xiàn)的傾斜角.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案