Question

【題目】拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在軸正半軸上，準(zhǔn)線(xiàn)與圓相切.

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）已知直線(xiàn)和拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，命題：“若直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（0，1），則 ”，

請(qǐng)判斷命題的真假，并證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）命題P為真命題

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為：x2=2py，p＞0，由已知條件得圓心（0，0）到直線(xiàn)l的距離，由此能求出拋物線(xiàn)線(xiàn)C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)m：y=kx+1，交點(diǎn)A ，B 聯(lián)立拋物線(xiàn)C的方程，得x2-4kx-4=0，△=16k2+16＞0恒成立，由此利用韋達(dá)定理能證明命題P為真命題

試題解析：（Ⅰ）依題意，可設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為：，

其準(zhǔn)線(xiàn)的方程為：

∵準(zhǔn)線(xiàn)圓相切 ∴解得p=4

故拋物線(xiàn)線(xiàn)C的方程為：………….…5分

（Ⅱ）命題p為真命題 ……………………………………６分

直線(xiàn)m和拋物線(xiàn)C交于A，B且過(guò)定點(diǎn)（0，1），

故所以直線(xiàn)m的斜率k一定存在，………………………7分

設(shè)直線(xiàn)m：，交點(diǎn)，，聯(lián)立拋物線(xiàn)C的方程，

得，恒成立，………8分

由韋達(dá)定理得………………………………………9分

=

∴命題P為真命題.………………………………………12分.