Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB為圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB的延長線于點(diǎn)C，若DA=DC，求證：AB=2BC．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，根據(jù)DC是圓O的切線，半徑OD⊥DC．由DA=DC，可得∠A=∠C，設(shè)大小為α，利用等腰△ADO的外角，得到∠ODC=∠ODA+∠A=2α．最后在Rt△ODC中，利用內(nèi)角和得到∠ODC+∠C=3α=90°，從而∠C=30°，最后利用直角三角形30°角對(duì)的邊等于斜邊的一半，得到Rt△ODC中，OC=2OD=2OB，從而得到BC=AB，即AB=2BC．
解答：解：連接OD，
∵DC是圓O的切線，OD為圓半徑，
∴OD⊥DC，
∵DA=DC，
∴∠A=∠C，設(shè)∠A=∠C=α，
∵△ADO中，OA=OD
∴∠ODA=∠A=α，
∴∠ODC=∠ODA+∠A=2α，
∴在Rt△ODC中，∠ODC+∠C=3α=90°，
∴∠C=α=30°
∴Rt△ODC中，OC=2OD=2OB
∴BC=OB=AB，即AB=2BC．
點(diǎn)評(píng)：本題以圓的切線和等腰三角形為載體，借助于證明線段長度的關(guān)系，著重考查了圓的切線的性質(zhì)、三角形的外角和含有30度的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．