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在△ABC中，已知
AB
•
AC
=16，sinC=cosAsinB，S△ABC=6，P為線段AC上的點，且
BP
=x
BA
|
BA
|
+y
BA
|BA|
，則xy的最大值為（　�。�
A、4B、3C、2D、1
考點：平面向量的基本定理及其意義,平面向量數量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：在△ABC中，由sinC=cosAsinB，求得cosB=0，可得B=
π
2
．由
AB
•
AC
=16 求得|AB|=4，由S△ABC=6，求得|BC|=3．
如圖以B為原點，BA方向為x軸建立平面直角坐標系，由P為線段AC上的點可設
AP
=λ
AC
(0＜λ＜1)，即（x-4，y）=λ（-4，3），解得x=4-4λ，y=3λ，計算xy的值，并利用基本不等式求得它的最大值．
解答： 解：在△ABC中，∵sinC=cosAsinB，可得sinAcosB+cosAsinB=cosAsinB，
由sinA＞0得cosB=0，∴B=
π
2
．
由
AB
•
AC
=16 得|
AB
|2=16，∴|AB|=4，由S△ABC=6，求得|BC|=3．
如圖以B為原點，BA方向為x軸建立平面直角坐標系，由
BP
=x
BA
|
BA
|
+y
BC
|
BC
|
及向量坐標的定義，
可知P（x，y），A（4，0），B（0，3），
由P為線段AC上的點可設
AP
=λ
AC
(0＜λ＜1)，即（x-4，y）=λ（-4，3），
得：x=4-4λ，y=3λ，∴xy=3λ(4-4λ)=12λ(1-λ)≤12×(
λ+1-λ
2
)2=3．
點評：本題主要考查三角恒等變換，平面向量基本定理及其意義，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）=x2+
b
2
（ex-e-x），且f（a）=b，則f（-a）=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在R上的函數f（x）=
x+1
x2+2x+3
，則f（x）（　�。�
A、既有最大值也有最小值
B、既沒有最大值，也沒有最小值
C、有最大值，但沒有最小值
D、沒有最大值，但有最小值

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列函數在其定義域上既是奇函數又是減函數的是（　�。�
A、f（x）=x3
B、f（x）=sinx
C、f（x）=
1
x
D、f（x）=-x|x|

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科目：高中數學 來源： 題型：

若指數函數y=（a2-1）x在x∈R上是減函數，則a的取值范圍是（　�。�
A、a＞1或a＜-1
B、-
2
＜a＜
2
C、a＞
2
或a＜-
2
D、1＜a＜
2
或-
2
＜a＜-1

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}：1，-
5
8
，
7
15
，-
9
24
，…的一個通項公式是（　�。�
A、an=（-1）n+1
2n-1
n2+n
（n∈N+）
B、an=（-1）n-1
2n-1
n2+3n
（n∈N+）
C、an=（-1）n+1
2n-1
n2+2n
（n∈N+）
D、an=（-1）n-1
2n+1
n2+2n
（n∈N+）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2x+3，若f（a）=1，則a=（　�。�
A、-2B、-1C、1D、2

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于任意向量
a
，
b
，下列命題中正確的是（　�。�
A、如果
a
，
b
滿足|
a
|＞|
b
|，且
a
與
b
同向，則
a
＞
b
B、|
a
+
b
|≤|
a
|+|
b
|
C、|
a
•
b
|＞|
a
|•|
b
|
D、|
a
-
b
|＞|
a
|-|
b
|

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科目：高中數學 來源： 題型：

若x∈（0，1），則下列結論正確的是（　　）
A、lgx＞x 
1
2
＞2x
B、2x＞x 
1
2
＞lgx
C、x 
1
2
＞2x＞lgx
D、2x＞lgx＞x 
1
2

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