Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ax²+x，若對(duì)于?x∈[-1，1]，f（x+a）≤f（x）恒成立，則負(fù)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[1-

  3

  ，0）
• B、[1-

  2

  ，0）
• C、（-

  1

  2

  ，1-

  2

  ]
• D、（-1，1-

  3

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和題意求出f（x）的解析式，再畫出函數(shù)f（x+a）和f（x）圖象，
解法一：由區(qū)間和圖象對(duì)a分類：a≤-1和-1＜a＜0，根據(jù)“?x∈[-1，1]，f（x+a）≤f（x）恒成立”和圖象求出a的范圍；
解法二：根據(jù)圖象得a的大致范圍，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行排除，再由恒成立列出不等式，求出a的范圍即可．

解答： 解：由題意知，定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ax²+x，
當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，f（x）=-f（-x）=-ax²+x，
∴f(x)=

ax2+x，x≥0 -ax2+x，x＜0

，
由a＜0畫出函數(shù)的圖象如圖所示：
解法一：①當(dāng)a≤-1時(shí)，|

1

a

|≤1，
則由圖得x=0處f（x+a）的圖象不在f（x）的下方，不符合題意舍去；
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，|

1

a

|＞1，
由圖象得f（x+a）≤f（x）的解集為區(qū)間[x_A，x_B]，
由對(duì)稱性得xA=

1

2a

-

a

2

，xB=-

1

2a

-

a

2

，
則對(duì)于任意x∈[-1，1]，f（x+a）≤f（x）恒成立，等價(jià)于[-1，1]⊆[

1

2a

-

a

2

，-

1

2a

-

a

2

]，
∴

- 1 2a - a 2 ≥1 1 2a - a 2 ≤-1

，解得1-

2

≤a＜0，
解法二：數(shù)形結(jié)合易得，-

1

2a

＞1，即a＞-

1

2

，排除A、D；
再結(jié)合圖象，只要

1

2a

-

a

2

＜-1即可，
解得，1-

2

≤a＜0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的平移變換，以及恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想．