Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，3]上最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，3]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，函數(shù)f（x）的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線 ．

當(dāng) ，即 時(shí)，f（x）max=f（3）=7k+26．

當(dāng) ，即 時(shí)，f（x）max=f（0）=k+5．

綜上： .

（2）解：1°當(dāng)函數(shù)f（x）在[0，3]上有兩相同的零點(diǎn)時(shí)： ，

解得k=﹣2．

2°當(dāng)函數(shù)f（x）在[0，3]上有兩不同的零點(diǎn)時(shí)： ，

解得 .

3°當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)且在[0，3]上僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)：

由零點(diǎn)存在定理得：f（0）f（3）≤0，解得 ．

而當(dāng)k=﹣5時(shí)，f（x）=3x2﹣12x，此時(shí)該函數(shù)的零點(diǎn)為0和4，符合要求．

綜上：﹣5≤k≤﹣2.

解法2：函數(shù)f（x）在[0，3]上有零點(diǎn)等價(jià)于方程3x2+2（k﹣1）x+k+5=0在[0，3]上有解

即k（2x+1）=﹣（3x2﹣2x+5）

所以

令t=2x+1∈[1，7]，則 在[1，3]單調(diào)遞增，在[3，7]單調(diào)遞減

所以k∈[﹣5，﹣2]．

【解析】（1）由已知，函數(shù)f（x）的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線 ，分類討論，即可求出函數(shù)f（x）在[0，3]上最大值；（2）分類討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上有兩相同的零點(diǎn)、兩不同的零點(diǎn)、函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)且在[0，3]上僅有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)組成不等式組求解即可．或利用分離參數(shù)求最值的方法求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．