Question

（2012•鹽城三模）若不等式|ax³-lnx|≥1對(duì)任意x∈（0，1]都成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是

[

e2

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：令g（x）=ax³-lnx，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值，利用最小值大于等于1，即可確定實(shí)數(shù)a取值范圍．

解答：解：顯然x=1時(shí)，有|a|≥1，a≤-1或a≥1．
令g（x）=ax³-lnx，g′(x)=3ax2-

1

x

=

3ax3-1

x

①當(dāng)a≤-1時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1]，g′(x)=

3ax3-1

x

＜0，g（x）在（0，1]上遞減，g（x）_min=g（1）=a≤-1，此時(shí)g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值為0，不適合題意．
②當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1]，g′(x)=

3ax3-1

x

=0，∴x=

3	1 3a

函數(shù)在（0，

3	1 3a

）上單調(diào)遞減，在（

3	1 3a

，+∞）上單調(diào)遞增
∴|g（x）|的最小值為g(

3	1 3a

)=

1

3

+

1

3

ln(3a)≥1，解得：a≥

e2

3

．
∴實(shí)數(shù)a取值范圍是[

e2

3

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．