Question

【題目】設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+7|+|x﹣1|≥m恒成立．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m取最大值時(shí)，解關(guān)于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣12．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)f（x）=|x+7|+|x﹣1|，則有f（x）= ，

當(dāng)x≤﹣7時(shí)，f（x）有最小值8；當(dāng)﹣7≤x≤1時(shí)，f（x）有最小值8；

當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）有最小值8．綜上f（x）有最小值8，所以，m≤8

（2）解：當(dāng)m取最大值時(shí)m=8，原不等式等價(jià)于：|x﹣3|﹣2x≤4，

等價(jià)于： ，或 ，

等價(jià)于：x≥3或﹣ ≤x≤3，

所以原不等式的解集為{x|x≥﹣ }

【解析】（1）要使不等式|x+7|+|x﹣1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x﹣1|的最小值大于或等于m，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最小值．（2）當(dāng)m取最大值8時(shí)，原不等式等價(jià)于：|x﹣3|﹣2x≤4，去掉絕對(duì)值符號(hào)，解此不等式．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解絕對(duì)值不等式的解法(含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào))．