Question

7．從裝有n+1個(gè)球（其中n=1個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C${\;}_{n+1}^{m}$種取法，這C${\;}_{n+1}^{m}$種取法可分成兩類：一類是取出的m個(gè)球中，沒有黑球，有$C_1^0•C_n^m$種取法，另一類是取出的m個(gè)球中有一個(gè)是黑球，有$C_1^1•C_n^{m-1}$種取法，由此可得等式：$C_1^0•C_n^m$+$C_1^1•C_n^{m-1}$=C${\;}_{n+1}^{m}$．則根據(jù)上述思想方法，當(dāng)1≤k＜m＜n，k，m，n∈N時(shí)，化簡(jiǎn)$C_k^0$•C${\;}_{n}^{m}$+C${\;}_{k}^{1}$•C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{k}^{2}$•C${\;}_{n}^{m-2}$+…+C${\;}_{k}^{k}$•C${\;}_{n}^{m-k}$=C_n+k^m．（用符號(hào)表示）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，類比題目中的數(shù)學(xué)模型，把C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k看作從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，即轉(zhuǎn)化為從裝有n+k球中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)，由此得出答案．

解答 解：根據(jù)題意，在C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k式中，
從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，
取出m個(gè)球的所有情況，即取法總數(shù)的和是多少；
又從裝有n+k個(gè)球中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)有C_n+k^m種；
所以，C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k=C_n+k^m．
故答案為：C_n+k^m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了類比推理的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握排列組合公式，是基礎(chǔ)題目．