分析:(Ⅰ)由已知條件得在平面圖形中,AO⊥BD,CO⊥BD,從而折起后BD⊥平面AOC,進(jìn)而BD⊥AC,由此能證明不論θ在(0,π)內(nèi)為何值,均有AC⊥BD.
(Ⅱ)由已知得平面AOC⊥平面BCD,AE是三棱錐A-BCD的高,從而當(dāng)三棱錐A-BCD的體積為
時(shí),sinθ=1,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合,由已知條件得∠OFC就是二面角B-AD-C的平面角,由此能求出二面角B-AD-C的余弦值.
解答:
(Ⅰ)證明:∵△ABD是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,△BCD為正三角形,
∴△ABC≌△ADC,∴AO既是等腰△ABD也是等邊△BCD的角平分線,也是高,
∴AO⊥BD,CO⊥BD,…(2分)
由于在平面圖形中,AO⊥BD,CO⊥BD,
折起后這種關(guān)系不變,且AO∩CO=O,
∴折起后BD⊥平面AOC,…(4分)
又AC?平面AOC,故BD⊥AC,
即不論θ在(0,π)內(nèi)為何值,均有AC⊥BD.…(5分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知BD⊥平面AOC,又BD?平面BCD,
∴平面AOC⊥平面BCD,
過點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E,∵平面AOC∩平面BCD=OC,
∴AE⊥平面BCD,即AE是三棱錐A-BCD的高,
在Rt△AOE中,AE=AOsinθ=2sinθ,
S△BCD=×4×4×=4,
故三棱錐A-BCD的體積為V=
×4×2sinθ=
sinθ,
當(dāng)三棱錐A-BCD的體積為
時(shí),sinθ=1,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合.…(9分)
CO⊥平面ABD,過O點(diǎn)作OF⊥AD于點(diǎn)F,連接CF,
∵AD?平面ABD,∴AD⊥OC,又OF∩OC=O,
∴AD⊥平面OFC,∴AD⊥CF,則∠OFC就是二面角B-AD-C的平面角.…(11分)
在Rt△OFC中,OF=
,OC=2
,∴CF=
,
∴cos
∠OFC==
=,
∴二面角B-AD-C的余弦值為
.…(13分)