如圖所示的平面四邊形ABCD中,△ABD是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,△BCD為正三角形,且BD=4,AC與BD交于點(diǎn)O(如圖甲).現(xiàn)沿BD將平面四邊形ABCD折成三棱錐A-BCD,使得折起后∠AOC=θ(0<θ<π)(如圖乙).
(Ⅰ)證明:不論θ在(0,π)內(nèi)為何值,均有AC⊥BD;
(Ⅱ)當(dāng)三棱錐A-BCD的體積為
8
3
3
時(shí),求二面角B-AD-C的余弦值.
考點(diǎn):與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)由已知條件得在平面圖形中,AO⊥BD,CO⊥BD,從而折起后BD⊥平面AOC,進(jìn)而BD⊥AC,由此能證明不論θ在(0,π)內(nèi)為何值,均有AC⊥BD.
(Ⅱ)由已知得平面AOC⊥平面BCD,AE是三棱錐A-BCD的高,從而當(dāng)三棱錐A-BCD的體積為
8
3
3
時(shí),sinθ=1,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合,由已知條件得∠OFC就是二面角B-AD-C的平面角,由此能求出二面角B-AD-C的余弦值.
解答: (Ⅰ)證明:∵△ABD是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,△BCD為正三角形,
∴△ABC≌△ADC,∴AO既是等腰△ABD也是等邊△BCD的角平分線,也是高,
∴AO⊥BD,CO⊥BD,…(2分)
由于在平面圖形中,AO⊥BD,CO⊥BD,
折起后這種關(guān)系不變,且AO∩CO=O,
∴折起后BD⊥平面AOC,…(4分)
又AC?平面AOC,故BD⊥AC,
即不論θ在(0,π)內(nèi)為何值,均有AC⊥BD.…(5分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知BD⊥平面AOC,又BD?平面BCD,
∴平面AOC⊥平面BCD,
過點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E,∵平面AOC∩平面BCD=OC,
∴AE⊥平面BCD,即AE是三棱錐A-BCD的高,
在Rt△AOE中,AE=AOsinθ=2sinθ,S△BCD=
1
2
×4×4×
3
2
=4
3
,
故三棱錐A-BCD的體積為V=
1
3
×4
3
×2sinθ
=
8
3
3
sinθ
,
當(dāng)三棱錐A-BCD的體積為
8
3
3
時(shí),sinθ=1,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合.…(9分)
CO⊥平面ABD,過O點(diǎn)作OF⊥AD于點(diǎn)F,連接CF,
∵AD?平面ABD,∴AD⊥OC,又OF∩OC=O,
∴AD⊥平面OFC,∴AD⊥CF,則∠OFC就是二面角B-AD-C的平面角.…(11分)
在Rt△OFC中,OF=
2
,OC=2
3
,∴CF=
14
,
∴cos∠OFC=
OF
CF
=
2
14
=
7
7
,
∴二面角B-AD-C的余弦值為
7
7
.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線與直線、平面與平面的位置關(guān)系、簡(jiǎn)單幾何體的體積、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),D(1,0),過橢圓C的右焦點(diǎn)F(
2
,0)且垂直于x軸的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),
OA
OB
=
5
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)D的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若
MD
=2
DN
,求直線MN的方程;
(3)設(shè)直線y=kx+2交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),若以DP,DQ為鄰邊的平行四邊形DPRQ滿足|PQ|=|DR|,求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1,2,…n且大小、形狀、之地相同的標(biāo)簽若干占,從中任取1張標(biāo)簽所得標(biāo)號(hào)記為隨機(jī)變量X,其分布列如下:
X12n
Pp1p2pn
其中數(shù)列{pn}是以
1
10
為首相,
1
20
為公差的等差數(shù)列.
(1)①求n的值;
②求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX;
(2)若有放回的從盒子里每次抽取一張標(biāo)簽,共抽取3次,求恰好有2次取得標(biāo)簽的標(biāo)號(hào)不大于2的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)P(1,2)作傾斜角為45°的直線l與曲線C:x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(Ⅰ)寫出直線l的參數(shù)方程;
(Ⅱ)求
1
|PM|
+
1
|PN|
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.規(guī)定 PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí);在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).某市環(huán)保局從過去一年的市區(qū)PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示(十位為莖,個(gè)位為葉).10個(gè)數(shù)據(jù)中有x,y兩個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),但知道這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為45.
(Ⅰ)求x的值;
(Ⅱ)從這10個(gè)數(shù)據(jù)中抽取3天的數(shù)據(jù),求至少有1天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率;
(Ⅲ)把頻率當(dāng)成概率來估計(jì)該市的空氣質(zhì)量情況,記ξ表示該市空氣質(zhì)量未來3天達(dá)到一級(jí)的天數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知|
a
|=1,|
b
|=2,
a
b
的夾角為60°,求:
(1)
a
b
方向上的投影;
(2)
c
a
+
b
d
=
a
+2
b
的夾角為銳角,求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解不等式:x4+x3-x-1≤0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知底面為菱形的四棱錐P-ABCD中,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,AP=BP=
2
2
PC=
2
,且N為線段AC的中點(diǎn),M為側(cè)棱PB的中點(diǎn),
(1)求證:NM∥平面PAD;
(2)求證:平面PAB⊥平面ABCD;
(3)求直線DP和平面PAC所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

方程sinx=lgx在x∈[0,2π]上根的個(gè)數(shù)為
 

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