Question

．設(shè)直線與拋物線交于不同兩點、，點為拋物線準(zhǔn)線上的一點。
（I）若，且三角形的面積為4,求拋物線的方程；
（II）當(dāng)為正三角形時，求出點的坐標(biāo)。

Answer 1

（I）；（II） ， 

本試題主要是考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的運用，求解拋物線的方程，以及正三角形中邊的關(guān)系的運用。
（1）利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得到滿足三角形面積的參數(shù)p的值，得到拋物線方程。
（2）將含有參數(shù)t的直線與拋物線方程聯(lián)立，那么可知韋達(dá)定理中坐標(biāo)的關(guān)系式，以及正三角形中邊的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而分析得到參數(shù)t的值和點D的坐標(biāo)。
解：（I）直線過焦點
時，不妨設(shè)，則,
又點到直線的距離 
所以=4
拋物線的方程為                  …
…4分
（II）設(shè)
由得則
從而
線段AB的中點為             …………6分
由得,即，解得
從而
……10分


由得到= ， …………13分
解                …………14分
此時，點   …………15分