Question

已知函數f（x）=lnx-

a

x

；
（Ⅰ）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內的單調性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（I）由題意f（x）的定義域為（0，+∞），且f'（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

…（2分）
∵a＞0，
∴f'（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數　　　　…（4分）
（II）由（I）可知，f′（x）=

x+a

x2

．
（1）若a≥-1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為增函數，
∴[f（x）]_min=f（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

（舍去）　…（5分）
（2）若a≤-e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為減函數，
∴[f（x）]_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

⇒a=-

e

2

（舍去）…（6分）
（3）若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，當1＜x＜-a時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上為減函數，f（x）在（-a，e）上為增函數，
∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

⇒a=-

e

∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

∴a=-

e

．…（8分）
綜上所述，a=-

e

．
（III）∵f（x）＜x²
∴l(xiāng)nx-

a

x

＜x2
又x＞0，∴a＞xlnx-x³…（9分）
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，
∴h'（x）=

1

x

-6x=

1-6x2

x

∵x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上是減函數，…（10分）
∴h（x）＜h（1）=-2＜0
即g'（x）＜0∴g（x）在（1，+∞）上也是減函數，
∴g（x）在（1，+∞）上是減函數
∴g（x）＜g（1）=-1
∴當a≥-1時，f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立．…（12分）