已知三棱柱ABC-A1B1C1中底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)為a,側(cè)面A1ACC1⊥底面△ABC,A1B=
6
2
a.
(1)求異面直線AC與BC1所成角的余弦值.
(2)求證:A1B⊥平面AB1C.
分析:(1)如圖過(guò)點(diǎn)B作BO⊥AC,可得BO⊥側(cè)面ACC1A1,連結(jié)A1O,可得A1O⊥底面ABC.根據(jù)A1C1∥AC,可得∠BC1A1或其補(bǔ)角為異面直線AC與BC1所成的角.
在Rt△A1BC1中,解三角形求得cos∠BC1A1的值.
(2)由四邊形ABB1A1為菱形,可得AB1⊥A1B.又由(1)可得A1B⊥AC,利用直線和平面垂直的判定定理證得A1B⊥面AB1C.
解答:解:(1)如圖過(guò)點(diǎn)B作BO⊥AC,垂足為點(diǎn)O,則由側(cè)面A1ACC1⊥底面△ABC,
可得BO⊥側(cè)面ACC1A1,連結(jié)A1O.
在Rt△A1BO中,A1B=
6
a
2
,BO=
3
2
a
,∴A1O=
3
2
a.
又AA1=a,AO=
a
2
,∴△A1AO為直角三角形,∴A1O⊥AC,A1O⊥底面ABC.
∵A1C1∥AC,∴∠BC1A1或其補(bǔ)角為異面直線AC與BC1所成的角.
∵A1O⊥面ABC,AC⊥BO,∴AC⊥A1B,∴A1C1⊥A1B.
在Rt△A1BC1中,A1B=
6
2
a
,A1C1=a,∴BC1=
10
2
a
,∴cos∠BC1A1=
10
5

∴異面直線AC與BC1所成角的余弦值為
10
5

(2)∵四邊形ABB1A1為菱形,∴AB1⊥A1B.
又由(1)可得A1B⊥AC,而AC∩AB1=A,∴A1B⊥面AB1C.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用,屬于中檔題.
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2
3
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CG
|的值為(  )

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