Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，CP，CA，CB兩兩垂直且相等，過PA的中點(diǎn)D作平面α∥BC，且α分別交PB，PC于M，N，交AB，AC的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）若AB=2BE，求二面角P-DM-N的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)定理，以及線面平行的性質(zhì)定理，即可得證；
（Ⅱ）以CA，CB，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)BC=2，求出點(diǎn)A，B，P，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，設(shè)平面PAB的法向量和平面DEF的法向量，由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得到法向量，再由向量的夾角公式，即可得到所求二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由BC⊥PC，BC⊥AC可知：BC⊥平面PAC，
又因?yàn)槠矫姒痢蜝C，平面AEF過BC且與平面α交于EF，
所以EF∥BC．
故EF⊥平面PAC； 　
（Ⅱ）以CA，CB，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
并設(shè)BC=2．則A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），
設(shè)平面PAB的法向量

n1

=(x1，y1，z1)，
由

n1

•

PA

=0，

n1

•

PB

=0，可求得

n1

=(1，1，1)，
D（1，0，1），E（-1，3，0），F(xiàn)（-1，0，0），
設(shè)平面DEF的法向量

n2

=(x，y，z)，
由

n2

•

DE

=0，

n2

•

FE

=0，可得

n2

=(-1，0，2)，
cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

15

15

．
二面角P-DM-N的余弦值為

15

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間位置關(guān)系：平行和垂直，考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理，以及線面平行的性質(zhì)定理，考查空間二面角的求法，主要是運(yùn)用向量法解決，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．