Question

f（x）=（a+bx）ⁿ（n?N^*）
（1）當(dāng)a=

1

4

，b=2時(shí)，展開式前3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為37，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)a=0，b=

1

2

，n=2時(shí)，y=f（x）與過(guò)點(diǎn)K（0，-1）的直線l相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D．證明：點(diǎn)F（0，1）在直線BD上．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）由得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=37，求得n=8，可得展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)公式求得該項(xiàng)的系數(shù)．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（ x₂，y₂），D （-x₁，y₁），直線l的方程為y=kx-1，把直線l的方程和f（x）的解析式聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂=4k，x₁•x₂=4，可得直線BD的方程，由于點(diǎn)F的坐標(biāo)滿足BD的方程，得到點(diǎn)F在直線BD上．

解答： 解：（1）對(duì)于f（x）=（a+bx）ⁿ（n?N^*），當(dāng)a=

1

4

，b=2時(shí)，由展開式前3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為37，
可得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=37，求得n=8，∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng) T₅=

C

4 8

•(

1

4

)4•2⁴•x⁴=

35

8

x⁴，
故展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為

35

8

．
（2）解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（ x₂，y₂），D （-x₁，y₁），直線l的方程為y=kx-1，
由

y=kx-1 x2=4y

 可得x²-4kx+4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=4，
故直線BD的方程為 y-y₁=

y2-y1

x2-x1

（x+x₁），即 y-

x12

4

=

x2-x1

4

（x+x₁），
令x=0可得y=

x1•x2

4

=1，故點(diǎn)F在直線BD上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，用點(diǎn)斜式求直線的方程，證明點(diǎn)在直線上的方法，屬于基礎(chǔ)題．