Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）證明：當(dāng)且時(shí)，總有

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)確定函數(shù)單調(diào)性：先增后減再增，結(jié)合圖像可知零點(diǎn)個(gè)數(shù)按兩極值正負(fù)分情況進(jìn)行討論，（2）先研究差函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得，導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，從而,得證.

試題解析：解：（Ⅰ） 零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程的根的個(gè)數(shù).

記，則，令得或.

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

故可畫(huà)出的草圖如圖所示：

由圖象知：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

（Ⅱ），設(shè)函數(shù)，

則，

記，則，

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由上表可知，而，

由知， .

所以，所以，即，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)， .

即當(dāng)且時(shí)， .