【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)為，，左焦點(diǎn)為，則是正三角形，可得，進(jìn)而將代入橢圓方程，可求出的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，并消去得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，由以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，可得，將其展開并結(jié)合韋達(dá)定理，可求得，即直線恒過點(diǎn)，進(jìn)而，結(jié)合韋達(dá)定理，求出最大值即可.

（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)為，，左焦點(diǎn)為，

則是正三角形，所以，則橢圓方程為.

將代入橢圓方程，可得，解得，.

故橢圓的方程為.

（2）由題意，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去得.

設(shè)，，則有，，

因?yàn)橐跃�段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，所以，

由，，則，

將，代入上式并整理得，

則，化簡得，

解得或，

因?yàn)橹本�不過點(diǎn)，所以，故.

所以直線恒過點(diǎn).

故，

設(shè)，則在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，

所以面積的最大值為.

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【題目】已知函數(shù)

（1）若為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)無最小值，求整數(shù)的最小值與最大值之和.

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（1）估計(jì)該批次產(chǎn)品長度誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望；

（2）如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí)，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.

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【題目】某企業(yè)為了參加上海的進(jìn)博會(huì)，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：

試銷單價(jià)x（元）

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷量y（件）

q

84

83

80

75

68

已知.參考公式：，

（1）求出q的值；

（2）已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y（件）關(guān)于試銷單價(jià)x（元）的線性回歸方程；

（3）用表示用正確的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)的殘差的絕對(duì)值時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求抽取的2個(gè)銷售數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)是“好數(shù)據(jù)”的概率.

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【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.

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【題目】在正四面體 ABCD 中，P，Q分別是棱 AB，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是直線AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M 是EF 的中點(diǎn)，則能使點(diǎn) M 的軌跡是圓的條件是（ ）

A. PE＋QF＝2B. PEQF＝2

C. PE＝2QFD. PE2＋QF2＝2

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【題目】為了解某冷飲店的經(jīng)營狀況，隨機(jī)記錄了該店月的月營業(yè)額（單位：萬元）與月份的數(shù)據(jù)，如下表：

（1）求關(guān)于的回歸直線方程；

（2）若在這樣本點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，求恰有一點(diǎn)在回歸直線上的概率.

附：回歸直線方程中，

，.

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【題目】某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).

（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；

（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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