已知拋物線為常數(shù)),為其焦點.

(1)寫出焦點的坐標;
(2)過點的直線與拋物線相交于兩點,且,求直線的斜率;
(3)若線段是過拋物線焦點的兩條動弦,且滿足,如圖所示.求四邊形面積的最小值

(1)(a,0);(2); (3)

解析試題分析:(1)∵拋物線方程為(a>0),∴焦點為F(a,0).
(2)設滿足題意的點為P(x0,y0)、Q(x1,y1).
,
∴(a-x0,-y0)=2(x1-a,y1),即
又y12=4ax1,y02=4ax0,
,進而可得x0=2a,,即y0=±2a.

(3) 由題意可知,直線AC不平行于x軸、y軸(否則,直線AC、BD與拋物線不會有四個交點)。
于是,設直線AC的斜率為.    12分
聯(lián)立方程組,化簡得(設點),則是此方程的兩個根.
.                           13分
弦長


.                   15分
,. 16分
,當且僅當時,四邊形面積的最小值.18分
考點:直線與拋物線的位置關系,平面向量的坐標運算。
點評:中檔題,涉及曲線的位置關系問題,往往通過聯(lián)立方程組,消元后,應用韋達定理,簡化運算過程。本題(2)通過應用平面向量共線的條件,利用“代入法”,得到的關系,進一步求得直線的斜率。(3)利用函數(shù)的觀點及均值定理,確定得到面積的最小值。應用均值定理要注意“一正,二定,三相等”,缺一不可。

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知過點的直線與拋物線交于兩點,為坐標原點.
(1)若以為直徑的圓經過原點,求直線的方程;
(2)若線段的中垂線交軸于點,求面積的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

平面內動點到點的距離等于它到直線的距離,記點的軌跡為曲
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若點,,上的不同三點,且滿足.證明: 不可能為直角三角形.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在矩形中,分別為四邊的中點,且都在坐標軸上,設,

(Ⅰ)求直線的交點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過圓上一點作圓的切線與軌跡交于兩點,若,試求出的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓C:的長軸長為,離心率
Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
Ⅱ)若過點B(2,0)的直線(斜率不等于零)與橢圓C交于不同的兩點E,F(xiàn)(E在B,F(xiàn)之間),且OBE與OBF的面積之比為,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設橢圓的左焦點為,直線軸交于點,過點且傾斜角為30°的直線交橢圓于兩點.
(Ⅰ)求直線和橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:點在以線段為直徑的圓上;
(Ⅲ)在直線上有兩個不重合的動點,以為直徑且過點的所有圓中,求面積最小的圓的半徑長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

過直線y=﹣1上的動點A(a,﹣1)作拋物線y=x2的兩切線AP,AQ,P,Q為切點.
(1)若切線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,求證:k1•k2為定值.
(2)求證:直線PQ過定點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,己知直線l與拋物線相切于點P(2,1),且與x軸交于點A,定點B(2,0).

(1)若動點M滿足,求點M軌跡C的方程:
(2)若過點B的直線(斜率不為零)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點E,F(xiàn)(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知F1、F2分別為橢圓C1的上、下焦點,其中F1也是拋物線C2的焦點,點A是曲線C1,C2在第二象限的交點,且

(Ⅰ)求橢圓1的方程;
(Ⅱ)已知P是橢圓C1上的動點,MN是圓C:的直徑,求的最大值和最小值.

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