【題目】設(shè)函數(shù), 表示導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;

(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(3)對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn),求證:存在唯一的,使直線的斜率等于.

【答案】(1)(2)見解析(3)見解析

【解析】試題分析:

(1)將 代入函數(shù)的方程,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)切線的關(guān)系求解函數(shù)的切線方程即可;

(2)首先求得 ,然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)分類討論實(shí)數(shù) 的取值范圍即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(3)首先證明點(diǎn) 存在,然后利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明 的唯一性即可.

試題解析:

(1)時(shí), , , , 在點(diǎn)處的切線方程為

(2), 的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí), 在區(qū)間單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), 在區(qū)間單調(diào)遞增,在區(qū)間單調(diào)遞減.

(3)∵,∴,化簡得

,且唯一.

設(shè),則,

再設(shè), ,∴,

是增函數(shù),

,同理,

∴方程有解.

∵一次函數(shù)在 是增函數(shù),

∴方程有唯一解,命題成立.

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