如圖,PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2,又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直線AM與直線PC所成的角為60°.
(Ⅰ)求證:平面PAC⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角M-AC-B的大;
(Ⅲ)求三棱錐P-MAC的體積.

【答案】分析:法一(Ⅰ)通過證明PC⊥平面ABC,證明平面PAC⊥平面ABC;
(Ⅱ)取BC的中點(diǎn)N,則CN=1,連接AN,MN,說明∠MHN為二面角M-AC-B的平面角,解三角形求二面角M-AC-B的大小;
(Ⅲ)三棱錐P-MAC的體積,轉(zhuǎn)化VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN,求出底面ACN的面積,求出高M(jìn)N即可.

法二(Ⅱ)在平面ABC內(nèi),過C作CD⊥CB,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,求出平面MAC的一個(gè)法向量為,
平面ABC的法向量取為=({0,0,1})利用,解答即可.
(Ⅲ)取平面PCM的法向量取為=({1,0,0}),則點(diǎn)A到平面PCM的距離,求出體積即可.
解答:解法一:
(Ⅰ)∵PC⊥AB,PC⊥BC,AB∩BC=B,
∴PC⊥平面ABC,
又∵PC?平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABC.
(Ⅱ)取BC的中點(diǎn)N,則CN=1,連接AN,MN,
∵PMCN,∴MNPC,從而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC,交AC的延長線于H,連接MH,則由三垂線定理知,AC⊥NH,
從而∠MHN為二面角M-AC-B的平面角
直線AM與直線PC所成的角為60
∴∠AMN=60°
在△ACN中,由余弦定理得AN=;
在△AMN中,MN=AN•cot∠AMN==1;
在△CNH中,NH=CN•sin∠NCH=1×;
在△MNH中,MN=tan∠MHN=
故二面角M-AC-B的平面角大小為arctan

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,PCMN為正方形
∴VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN=

解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在平面ABC內(nèi),過C作CD⊥CB,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz(如圖)
由題意有,設(shè)P(0,0,z)(z>0),
則M(0,1,z),
由直線AM與直線PC所成的解為60°,得,即z2=,解得z=1
,設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為,
,取x1=1,得,
平面ABC的法向量取為,
設(shè)所成的角為θ,則cosθ=,
顯然,二面角M-AC-B的平面角為銳角,
故二面角M-AC-B的平面角大小為arccos

(Ⅲ)取平面PCM的法向量取為,則點(diǎn)A到平面PCM的距離h=,
|=1,∴VP-MAC=VA-PCM
點(diǎn)評(píng):本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關(guān)知識(shí),考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力.
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