Question

【題目】如圖四棱錐E﹣ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，△BCE為等邊三角形，△ABE是以∠A為直角的等腰直角三角形，且AC=BC．

（Ⅰ）證明：平面ABE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：設(shè)O為BE的中點(diǎn)，連接AO與CO，

則AO⊥BE，CO⊥BE．

設(shè)AC=BC=2，則AO=1， ，AO2+CO2=AC2，

∠AOC=90°，所以AO⊥CO，

故平面ABE⊥平面BCE．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AO，BE，CO兩兩互相垂直．OE的方向?yàn)閤軸正方向，OE為單位長(zhǎng)，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，

則A（0，0，1），E（1，0，0）， ，B（﹣1，0，0）， ，

所以 ， ， ，

， ，

設(shè) =（x，y，z）是平面ADE的法向量，則 ，即 所以 ，

設(shè) 是平面DEC的法向量，則 ，同理可取 ，

則 = ，所以二面角A﹣DE﹣C的余弦值為

【解析】（Ⅰ）由題意作出輔助線(xiàn)，利用已知由勾股定理可求出∠AOC=90°即AO⊥CO，根據(jù)面面垂直的判定定理可得證。（Ⅱ）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面ADE和平面DEC的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值即可。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直．