Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²﹣3x在x=±1處取得極值
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：對(duì)于區(qū)間[﹣1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤4；（3）若過點(diǎn)A（1，m）（m≠﹣2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3ax²+2bx﹣3，
依題意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³﹣3x
（2）∵f（x）=x³﹣3x，
∴f′（x）=3x²﹣3=3（x+1）（x﹣1），
當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上為減函數(shù)，
f_max（x）=f（﹣1）=2，f_min（x）=f（1）=﹣2
∵對(duì)于區(qū)間[﹣1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f_max（x）﹣f_min（x）| |f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f_max（x）﹣f_min（x）|
=2﹣（﹣2）=4 （3）
f′（x）=3x²﹣3=3（x+1）（x﹣1），
∵曲線方程為y=x³﹣3x，
∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線上．
設(shè)切點(diǎn)為M（x₀，y₀），
切線的斜率為 （左邊用導(dǎo)數(shù)求出，右邊用斜率的兩點(diǎn)式求出），
整理得2x₀³﹣3x₀²+m+3=0．
∵過點(diǎn)A（1，m）可作曲線的三條切線，
故此方程有三個(gè)不同解，
下研究方程解有三個(gè)時(shí)參數(shù)所滿足的條件
設(shè)g（x₀）=2x₀³﹣3x₀²+m+3，
則g′（x₀）=6x₀²﹣6x₀，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x₀）=2x₀³﹣3x₀²+m+3的極值點(diǎn)為x₀=0，x₀=1
∴關(guān)于x₀方程2x₀³﹣3x₀²+m+3=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是 ，
解得﹣3＜m＜﹣2．
故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣3＜m＜﹣2．