Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，N為的中點(diǎn).

（1）求證：平面

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）存在，

【解析】

（1）首先過作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出和平面的法向量，根據(jù)即可證明平面.

（2）求出平面的法向量為，再代入二面角公式計(jì)算即可得到答案.

（3）首先假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，設(shè)，，得到，根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為，求得，所以存在，且.

（1）過作，垂足為，則，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

則，，，，

，，，

設(shè)平面的一個法向量為

，，

則，令，解得：.

因?yàn)?/span>，所以

又平面，所以平面.

（2）設(shè)平面的一個法向量為，

因?yàn)?/span>，，

所以，令，解得.

所以.

即平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（3）假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，設(shè)，，.

因?yàn)?/span>，所以

則

因?yàn)槠矫?/span>的一個法向量

所以，

整理得：，

所以，因?yàn)?/span>，所以.

所以存在，且.