Question

若關(guān)于x的方程

|x|

x+4

=kx²有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：易知x=0是方程

|x|

(x+4)

=kx²的一個(gè)實(shí)數(shù)解，故關(guān)于x的方程

|x|

(x+4)

=kx²有2個(gè)不同的非零實(shí)數(shù)解，即y=k（x+4）與y=

1

|x|

有2個(gè)不同的交點(diǎn)，從而作圖求解．

解答： 解：易知x=0是方程

|x|

(x+4)

=kx²的一個(gè)實(shí)數(shù)解，
故關(guān)于x的方程

|x|

(x+4)

=kx²有2個(gè)不同的非零實(shí)數(shù)解，
即k|x|（x+4）=1有2個(gè)不同的非零實(shí)數(shù)解，
故y=k（x+4）與y=

1

|x|

有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
作y=k（x+4）與y=

1

|x|

的圖象如下，

設(shè)切點(diǎn)為（x，-

1

x

），y′=

1

x2

；
故由

1

x2

=

- 1 x

x+4

解得x=-2；
故k=

1

4

結(jié)合圖象可知，k的取值范圍是{

1

4

}
故答案為：{

1

4

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．