Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-4|+1，若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)，可得當(dāng)x≤2時(shí)f（x）≤ax轉(zhuǎn)化為（a+2）x≥5；當(dāng)x＞2時(shí)f（x）≤ax轉(zhuǎn)化為（a-2）x≥-3．分別在這兩種情況下根據(jù)a的取值解關(guān)于x的不等式，討論不等式的解集是否為空集，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．最后取這兩種情況下a的取值范圍的并集，可得滿足條件的a的取值范圍．

解答： 解：：①當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=|2x-4|+1=5-2x，
∴不等式f（x）≤ax，即5-2x≤ax，即（a+2）x≥5．
（i）當(dāng)a=-2時(shí)，不等式變?yōu)?≥5，解集為空集，不符合題意；
（ii）當(dāng)a＜-2時(shí)，不等式變?yōu)閤≤

5

a+2

，不等式的解集一定非空，符合題意；
（iii）當(dāng)a＞-2時(shí)，不等式變?yōu)閤≥

5

a+2

，可得當(dāng)

5

a+2

≤2時(shí)不等式的解集非空．
解不等式

5

a+2

≤2得a≥

1

2

．此時(shí)a∈（-∞，-2]∪[

1

2

，+∞）．
②當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=|2x-4|+1=2x-3，∴不等式f（x）≤ax，即2x-3≤ax，即（a-2）x≥-3，
（i）當(dāng)a=2時(shí)，不等式變?yōu)?≥-3，解集非空，符合題意．
（ii）當(dāng)a＜2時(shí)，不等式變?yōu)閤≤

3

2-a

，可得當(dāng)

3

2-a

＞2時(shí)不等式的解集非空，
解不等式

3

2-a

＞2，得

1

2

＜a＜2．
（iii）當(dāng)a＞2時(shí)，不等式變?yōu)閤≥

3

2-a

，不等式的解集一定非空，符合題意，此時(shí)a∈（

1

2

，+∞）．
綜上所述，可得滿足不等式f（x）≤ax的解集非空的a的取值范圍為（-∞，-2）∪[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查含有絕對(duì)值的函數(shù)f（x），著重考查了絕對(duì)值的意義、不等式的解法等知識(shí)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．