Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，，且（n=2，3，4，…）．
（1）求a₃、a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（3）求證：對(duì)一切n∈N^*且n≥2，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用遞推式，代入計(jì)算即可；
（2）對(duì)數(shù)列遞推式取倒數(shù)，再疊乘，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）對(duì)通項(xiàng)平方，再放縮，利用裂項(xiàng)求和，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：∵a₁=1，，且
∴，．
（2）解：當(dāng)n≥2時(shí)，，依次代入得．
整理得當(dāng)n≥2時(shí)，，即．
又n=1時(shí)也成立，故，n∈N^*．
（3）證明：當(dāng)k≥2時(shí)，有，
從而．所以有．
綜上，對(duì)一切n∈N^*，有．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用放縮、裂項(xiàng)求和．