Question

【題目】在y=2x2上有一點P，它到A（1，3）的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標是（ ）
A.（﹣2，1）
B.（1，2）
C.（2，1）
D.（﹣1，2）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：把拋物線的解析式y(tǒng)=2x2變?yōu)閤2= y，
與標準形式x2=2py 對照，知：2p= ．∴p= ．
∴拋物線x2= y的準線方程為L：y=﹣ =﹣ ．
由拋物線定義知：拋物線上任意一點到準線距離等于到焦點距離．
∴點P到焦點的距離等于點P到準線的距離．
分析點A與已知拋物線y=2x2的位置關(guān)系：
在y=2x2中，當x=1時，y=2，而點A（1，3）在拋物線內(nèi)．
過點A作準線的垂線，垂足為B，
設線段AB與拋物線及x軸分別交于點M、點N，
∵AB⊥準線y=﹣ ，而點A的縱坐標為3，
∴AN=3且點M的橫坐標與點A的橫坐標相同均為1．
把x=1代入y=2x2得y=2，
∴點M的縱坐標為2．
∴點M的坐標為（1，2）．
下面分析“距離之和最小”問題：
在拋物線y=2x2上任取一點P，過P作準線的垂線，垂足為Q，
過P作AB的垂線，垂足為H，
在Rt△PAH中，斜邊大于直角邊，則|PA|＞|AH|．
在矩形PQBH中，|PQ|=|HB|，
∴|PA|+|PF|（這里設拋物線的焦點為F）
=|PA|+|PQ|＞|AH|+|HB|=|AB|．
即：拋物線上任意一點P到A的距離與它到焦點的距離之和最小為|AB|．
此時點P與點M重合，其坐標為P（1，2）．
故選：B．