Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x+a有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（　�。�

• A、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• B、（-∞，2]∪[2，+∞）
• C、（-2，2）
• D、[-2，2]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，并且極小值小于0，極大值大于0，求解即可．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=x³-3x+a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，極小值小于0，極大值大于0；
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以函數(shù)f（x）的兩個(gè)極，x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，x∈（-1，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函數(shù)的極小值f（1）=a-2和極大值f（-1）=a+2．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³-3x+a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以

a+2＞0 a-2＜0

，解之，得-2＜a＜2．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，2）．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．