Question

（理）已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意實數(shù)x₁，x₂都有f（x₁+x₂）=1+f（x₁）+f（x₂），且f（1）=1．
（1）若對任意正整數(shù)n，有a_n=f（

1

2n

）+1，求a₁、a₂的值，并證明{a_n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)對任意正整數(shù)n，有b_n=

1

f(n)

，若不等式b_n+1+b_n+2+…+b_2n＞

6

35

log₂（x+1）對任意不小于2的正整數(shù)n都成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）利用賦值法，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明{a_n}為等比數(shù)列；
（2）求出b_n的表達式，利用數(shù)列的單調(diào)性，即可求出x的取值范圍．

解答： 解：（1）令x1=x2=

1

2

，得f(1)=1+f(

1

2

)+f(

1

2

)，
則f(

1

2

)=0，a1=f(

1

2

)+1=1…1分
令x1=x2=

1

4

，得f(

1

2

)=1+f(

1

4

)+f(

1

4

)，
則f(

1

4

)=-

1

2

，a2=f(

1

4

)+1=

1

2

…2分
令x1=x2=

1

2n+1

，得f(

1

2n+1

+

1

2n+1

)=1+f(

1

2n+1

)+f(

1

2n+1

)，
即f(

1

2n

)=1+2f(

1

2n+1

)，…4分
則f(

1

2n

)+1=2[1+f(

1

2n+1

)]，a_n=2a_n+1
所以，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=

1

2

，首項a₁=1．…6分
（2）令x₁=n，x₂=1，得f（n+1）=1+f（1）+f（n），即f（n+1）=f（n）+2
則{f（n）}是等差數(shù)列，公差為2，首項f（1）=1，
故f（n）=1+（n-1）•2=2n-1，…8分
bn=

1

f(n)

=

1

2n-1

．…9分
設(shè)g(n)=bn+1+bn+2+…+b2n=

1

2n+1

+

1

2n+3

+…+

1

4n-1

，
則g(n+1)-g(n)=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

=

1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0，
所以{g（n）}是遞增數(shù)列，gmin=g(2)=

1

5

+

1

7

=

12

35

，…11分
從而

6

35

log2(x+1)＜

12

35

，即log₂（x+1）＜2…12分
則

x+1＞0 x+1＜4

，解得x∈（-1，3）． …14分．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和應(yīng)用，綜合考查學生的計算能力，運算量較大，難度不小．