Question

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a_n，使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b₁，b₂，b₃…，b_n，使這個(gè)n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．記A_n=a₁a₂a₃…a_n，Bn=b₁+b₂+b₃+…+b_n．（1）求數(shù)列{A_n}和{B_n}的通項(xiàng)；（2）當(dāng)n³7時(shí)，比較A_n與B_n的大小，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：∵ 1，a1，a2，a3…an，2成等比數(shù)列，∴ a1an=a2an-1=a3an-2=…akan-k+1=…1´2=2 ，∴ =(a1an)(a2an-1) (a3an-2)…(an-1a2)(ana1)=(1´2)n=2n ∴   又∵ 1，b1，b2，b3，…bn，2成等差數(shù)列，∴ b1+bn=1+2=3，∴ 所以，數(shù)列{An}的通項(xiàng)，數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)． （2）∵ ，，∴ ，，要比較An與Bn的大小，只需比較與的大小，也即比較當(dāng)n³7時(shí)，2n與的大�。�當(dāng)n=7時(shí)，，，得知，經(jīng)驗(yàn)證n=8，n=9時(shí)，均有命題成立．猜想當(dāng)n³7時(shí)有．用數(shù)學(xué)歸納法證明． （1）當(dāng)n=7時(shí)，已驗(yàn)證，命題成立． （2）假設(shè)n=k(k³7)時(shí)，命題成立，即，那么，又當(dāng)k³7時(shí)，有k2>2k+1 ∴ ，這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立． 根據(jù)（1）、（2），可知命題對(duì)于n³7都成立．故當(dāng)n³7時(shí)，An>Bn．