Question

（2014•廣東模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+

1

2

a_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃（1-S_n+1）（n∈N^*），求適合方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

 的正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（1）由S n+

1

2

an=1，得Sn-1+

1

2

an-1=1（n≥2），兩式相減得a_n與a_n-1的遞推式，由遞推式易判斷數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，從而可求a_n；
（2）由（1）易求得1-S_n+1，進(jìn)而可求b_n，利用裂項(xiàng)相消法可求得

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

，從而可把方程變?yōu)殛P(guān)于n的方程，解出即可；

解答：解：（1）由S n+

1

2

an=1，得Sn-1+

1

2

an-1=1（n≥2），
兩式相減得，a_n+

1

2

an-

1

2

an-1=0（n≥2），即an=

1

3

an-1（n≥2），
由S n+

1

2

an=1得S1+

1

2

a1=1，即

3

2

a1=1，解得a1=

2

3

，
所以數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不為0，且是以

2

3

為首項(xiàng)、

1

3

為公比的等比數(shù)列，
所以a_n=

2

3

×(

1

3

)n-1=

2

3n

；
（2）由（1）知，Sn+1+

1

2

an+1=1，即1-S_n+1=

1

2

an+1=

1

3n+1

，
所以b n=lo

g	(1-Sn+1) 3

=log3

1

3n+1

=-（n+1），
則

1

bnbn+1

=

1

-(n+1)[-(n+2)]

=

1

n+1

-

1

n+2

，
所以

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
所以方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

 即

1

2

-

1

n+2

=

25

51

，解得n=100，
故適合方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

 的正整數(shù)n的值為100．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列及用列項(xiàng)相消法進(jìn)行數(shù)列求和，熟練掌握a_n與S_n間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．