已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)A(-2,0)、B(2,0)、三點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn),F(xiàn)(-1,0),H(1,0),當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí),求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo);
(3)若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓E交于M、N兩點(diǎn),證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在定直線上并求該直線的方程.
【答案】分析:(1)設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0),將A(-2,0)、B(2,0)、代入橢圓E的方程,得到關(guān)于m,n的方程組,即可解得 .最后寫(xiě)出橢圓E的方程 ;
(2)先設(shè)△DFH邊上的高為h,由于 ,得到當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),h最大為 ,再設(shè)△DFH的內(nèi)切圓的半徑為R,因?yàn)椤鱀FH的周長(zhǎng)為定值6.所以 ,從而救是R的最大值,從而解決問(wèn)題.
(3)將直線l:y=k(x-1)代入橢圓E的方程并整理.得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),由根系數(shù)的關(guān)系,求得P,Q的坐標(biāo),下面證明P、Q兩點(diǎn)重合,即證明P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.
解答:解:(1)設(shè)橢圓方程為mx2+my2=1(m>0,n>0),將A(-2,0)、B(2,0)、代入橢圓E的方程,得解得.∴橢圓E的方程(4分)
(2)|FH|=2,設(shè)△DFH邊上的高為
當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),h最大為,所以S△DFH的最大值為
設(shè)△DFH的內(nèi)切圓的半徑為R,因?yàn)椤鱀FH的周長(zhǎng)為定值6.所以,
所以R的最大值為.所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(10分)
(3)將直線l:y=k(x-1)代入橢圓E的方程并整理.
得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.
設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),
由根系數(shù)的關(guān)系,得
直線AM的方程為:,它與直線x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)為
同理可求得直線BN與直線x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)為
下面證明P、Q兩點(diǎn)重合,即證明P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等:
∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),

=
因此結(jié)論成立.
綜上可知.直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上.(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).解答的關(guān)鍵是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程,利用待定系數(shù)法求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)A(-2,0),B(2,0),C(1,
32
)
三點(diǎn)
(1)求橢圓方程
(2)若此橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2,過(guò)F1作直線L交橢圓于M、N兩點(diǎn),使之構(gòu)成△MNF2證明:△MNF2的周長(zhǎng)為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
32
)
三點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程:
(2)若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn),F(xiàn)(-1,0),H(1,0),當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí).求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•閔行區(qū)二模)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)M(2,1),N(2
2
,0)
兩點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b(b<0),直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B,直線MA與MB的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2=0.

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已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
32
)
三點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn),F(xiàn)(-1,0),H(1,0),當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí),求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo);
(3)若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓E交于M、N兩點(diǎn),證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在定直線上并求該直線的方程.

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已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)M(2,1)、N(2
2
,0)
兩點(diǎn),P是E上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求|OP|的最大值;
(2)若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b(b<0),直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B,求證:直線MA與直線MB的傾斜角互補(bǔ).

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